2.7弧长及扇形的面积

教学目标：

1.知道弧长和扇形的面积公式

2．熟练运用弧长公式及扇形面积公式进行计算，并会应用公式解决问题。

3.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，发展学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。

教学重点、难点：

重点：弧长与扇形的计算公式的推导与应用

难点：弧长与扇形的计算公式的应用

教学过程：

（一） 情境导入

1如图，正方形ABCD是边长为12米的池塘，它的周围是草地，AM=3米，现在用长6米的绳子将一头羊拴在点M处，你能画出这只羊的活动区域吗？

（设计意图：培养学生积极探索及动手操作的能力）

（二）新课

1.弧长公式

问题：（1）如果用栅栏围羊的活动区域，那么栅栏的长应为多少？

引导提问：①弧长属于圆周上部分，圆周长计算公式是什么？

②圆周长可以看成是多少度的圆心角所对的弧长？

③1⁰的圆心角所对的弧长是多少？

   n°的圆心角所对的弧长是多少呢？

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计

算公式为：

l  =_________

（设计意图：培养学生用旧知解决新知的能力，掌握弧长公式，并能利用弧长公式解决问题）

2．练习

1：在半径为3cm的圆中，60°的圆心角所对的弧长是        

变式：1）已知弧长为2π，半径为3，则此弧长对应的圆心角为          

2）已知45°的圆心角所对的弧长为π，则该圆的半径为          

（设计意图：熟练运用弧长公式进行计算）

2.扇形面积公式：

1．提问：（1）羊可以吃到的草的面积？

扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。

（设计意图：让学生了解扇形的定义，能够识别扇形）

2 .引导学生推导扇形面积公式（类比弧长公式推导）

  （1）圆面积的计算公式是什么？

（2）圆的面积可以看作           度圆心角所对的扇形的面积；

         1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。

         n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。

在半径为R的圆中，圆心角为的扇形面积的计算公式为：

S=πR²

注：类似于弧长的计算公式，扇形面积的计算公式也是表示三个量之间的关系，在S、n、R中任意知道两个量都可以根据公式求出第三个量的值。

（3）扇形面积与弧长的联系

比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S=πR²化为S=·R，从而可得扇形面积的另一计算公式：

S=lR

（设计意图：能够运用类比的方法独立探索新知，掌握扇形的面积公式）

3练习

1)已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则这个扇形的面积为_______.

2)已知面积为πcm ²的扇形所对圆心角为45°，则这个扇形的半径R=____．

3)已知扇形的半径为10cm，弧长为2πcm，则扇形所对的圆心角为____，该扇形的面积为________周长为________  

（设计意图：熟练运用公式掌握不同量之间的转换）

三 例题讲解

例1.已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点。设弦AB的长为d，圆环面积S与d之间有怎样的数量关系？

例2 正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，为半径的圆两两相切于点O₁、O₂、O₃。求弧O₁O₂、弧O₂O₃、弧O₃O₁围成的图形面积S（图中阴影部分）。

变式1如图以三角形ABC的三个顶点为圆心，1为半径作圆,则图形中阴影部分的面积是______;若改为四边形，阴影部分的面积是____若改为五边形，则图中阴影部分面积是      … …若改为n边形，阴影部分的面积是_____ 

变式2 以n边形各顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分面积是           

（设计意图：将扇形与多边形结合，从简单的三角形入手，培养学生重视从特殊到一般的数学思想方法）

中考衔接

1.把直角三角形ABC的斜边AB放在直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到△A₂B₂C₂的位置上，设BC＝1，∠B=60°，则顶点A运动到A₂的位置时，点A经过的路线有多长？点A经过的路线与直线所围成的图形的面积有多大？   

（设计意图：培养学生用数学知识解决实际问题的能力，树立学好数学的信心）

四  本课小结

本节课你有什么收获？

五  课后作业

同步练习