9．5  多项式的因式分解（3）2016年3月

教学目标

1．理解完全平方公式的意义，弄清公式的形式和特征，会运用完全平方公式分解因式．

2．经历把完全平方公式反过来探索完全平方公式法分解因式的过程，体会它们之间的联系，发展逆向思维的能力．

教学重点

运用完全平方公式分解因式．

教学难点

灵活运用完全平方公式分解因式．

教学过程（教师）

学生活动

设计思路

一、情境创设

观察下列数：1，4，9，16，25……它们有什么特点？

你能看出下列式子的特点吗？

（1）a2＋2a＋1         （2）a2＋4a＋4

（3）a2－6a＋9      （4）a2＋2ab＋b2         （5）a2－2ab＋b2

学生观察、思考、交流．

由完全平方数自然过渡到完全平方式，起到了触类旁通，承上启下的作用，激起学生的求知欲．

二、探究活动

1．活动一．

在括号内填上适当的式子，使等式成立．

（1）（a＋b）2＝（        ）  

（2）（a－b）2＝（        ）

（3）a2＋（    ）＋1＝（a＋1）2          

（4）a2－（    ）＋1＝（a－1）2

解答上述问题时的根据是什么？

第（1）（2）两式从左到右是什么变形？第（3）（4）两式从左到右是什么变形？

学生先口答填空，然后相互交流两个问题．

参考答案：（1）；

         （2）；

         （3）；

（4）．

设计这组练习的目的是巩固完全平方公式，引导学生顺向、逆向运用完全平方公式，回答问题的过程中自然引入新课．

2．活动二．

（1）把乘法公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，

       　　　　　　（a－b）2＝a2－2ab＋b2

反过来，就得到a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，

            a2－2ab＋b2＝（a－b）2

（2）下列各式中，哪些能运用完全平方公式进行分解因式？哪些不能？为什么？

①；      ②；

③；     ④；

⑤；        ⑥．

不能的如何改就能运用完全平方公式进行因式分解？

观察、思考，并口答．

参考答案：④，⑥能运用完全平方公式进行分解因式．

通过判别，以利于学生在较多感受的基础上认识完全平方公式的特点，且由学生自主修改，加强对公式特点的理解和认识，修改的方法不唯一，可以让学生用多种方法修改，培养学生的发散性思维．

三、例题讲解 

例1　把下列各式分解因式．

（1）x2＋10x＋25；        

（2）4a2－36ab＋81b2．

学生口答，教师板书．

参考答案：

 （1）x2＋10x＋25             

    　＝x2＋2×5x＋52   

＝（x＋5）2             

 （2）4a2＋36ab＋81b2                           

＝（2a）2－2×2a×9b＋（9b）2

＝（2a－9b）2

本题是基础题，即时巩固新知，使学生体会用完全平方公式如何分解因式，教师的板书能及时给学生以示范作用．

例2　把下列各式分解因式．

（1）16a4＋8a2＋1；        

（2）（m＋n）2－4（m＋n）＋4．

思考并作答（根据学生的实际能力表现，可安排小组讨论）．

    参考答案：

（1）16a4＋8a2＋1             

＝（4a2）2＋2×4a2＋1         

＝（4a2＋1）2 ；

（2）（m＋n）2－4（m＋n）＋4

＝（m＋n）2－2×2（m＋n）＋22

＝[（m＋n）－2]2

＝（m＋n－2）2．

本例题的两道题目是渗透“整体代换”的数学思想，（1）中将4a2看成一个数，（2）由于学生已经熟悉了顺向运用乘法公式进行思维，因而（m＋n）2可能会干扰学生的逆向思维，教学中要注意引导．

例3　简便计算20042－4008×2005＋20052．

学生独立思考后小组交流，最后汇报．

参考答案：

    20042－4008×2005＋20052

＝20042－2×2004×2005＋20052

＝（2004－2005）2

＝1

用完全平方公式因式分解进行简便运算，训练学生快速地观察得到式子的特点，真正理解完全平方公式的特点，灵活运用公式解题进行简便运算，使学生体会到“学有所用”，体验到成功的喜悦．

四、练习巩固

1．课本P85—P86练一练的第1、2、3题；

2．已知a2－2a＋b2＋4b＋5＝0，求（a＋b）2005的值．

1．第1、2两题由学生板演，然后纠错，第3题由学生口答；

2．学生独立思考后小组交流，最后汇报．

参考答案：

1．（1）①能，；②不能；

       ③不能；④能，．

   （2）①；②；

        ③；④．

（3）①12mn，2，3；（2），．

2．a2－2a＋b2＋4b＋5＝0变形为

（a－1）2＋（b＋2）2＝0         

∴a－1＝0，b＋2＝0      

∴a＝1，b＝－2，

（a＋b）2005＝[1＋（－2）]2005＝－1．

练习1的设置难度不大，能及时巩固新知，让学生在解题、纠错的过程中进一步利用完全平方公式分解因式．练习2有一定难度，教学时要引导学生分析，发现式子的特点，然后构造完全平方式进行解题，学生可以合作交流找寻方法，培养学生的合作意识．

五、课堂小结

你能用两个边长分别为a、b的正方形，两个长和宽分别为a、b的长方形通过拼图，来描述运用完全平方公式分解因式的多项式的特征吗？

学生出图形加以说明，投影汇报．

学生通过动手拼图，在操作的过程中加深对完全平方式因式分解的理解，这种操作性的小结既能更深层地理解新知，又能激发学生学习的兴趣．

六、作业布置

1．（必做题）课本P87习题9.5第5、6题；

2．（选做题）．

（1）若x2＋mx＋4是完全平方式，则m＝    ；

（2）简便计算：9.92－9.9×0.2＋0.01；

（3）若a、b、c为△ABC的三边，且满足

a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC的形状．

课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．

学生根据自己的能力去自主选做．这是遵循“可接受原则”，尊重学生的差异组织教学，就是我们所说的因材施教．